半年备考公务员——多种数列递推规律

妖僧三藏

递推数列是数列推理中较为复杂的一类数列。其推理规律变化多样，使得很多考生不易察觉和掌握。要想掌握递推数列的解题方法，需要从两个方面入手。一是要清楚递推数列的“鼻祖”，即最典型、最基础的递推数列；二是要明确递推规律的变化方式。



（一）递推数列的“鼻祖”
    1，1，2，3，5，8，13，21……
    写出这个数列之后，有不少考生似曾相识。其中有一些考生知道，这个数列被称为“斐波那契（Febonacci，原名Leonardo，12-13世纪意大利数学家）数列”或者“兔子数列”。这些考生中还有一些人知道这个数列的递推规律为：从第三项开始，每一项等于它之前两项的和，用数学表达式表示为

    这个递推规律是整个数列推理中递推数列的基础所在。在公务员考试中，曾经出现过直接应用这个规律递推的数列。

    例题1：（2002年国家公务员考试A类第4题）1，3，4，7，11，（    ）
     A.14                B.16                C.18                D.20
    【答案】：C。
    【解析】：这道题可以直接应用斐波那契数列的递推规律，即

     因此所求项为
     7+11=18
  

（二）递推规律的多种变式

     例题2：（2006年北京市大学应届毕业生考试第1题）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（    ）
     A.4                 B.3                 C.2                 D.1
    【答案】：A。
    【解析】：这是很别致的一道试题。从形式上看，这个数列很特殊，不仅给出的已知项达到了9项之多，而且每一项都是一位数字，由此可以猜到这个数列的运算规律。这个数列从第三项开始存在运算递推规律
取“ ”的尾数
     由此可知所求项为
     取“9＋5＝14”的尾数，即4
      这道题的运算递推规律是将两项相加之和变为了取尾数。

     例题3：（2005年国家公务员考试二卷第30题，2006年广东省公务员考试第5题）1，2，2，3，4，6，（    ）
     A.7                 B.8                 C.9                 D.10
    【答案】：C。
    【解析】：初看这道题容易将题目错看为一个简单的等差数列1，2，3，4，5，6……正是因为存在这样“先入为主”的观点，使得这道题的运算递推规律被隐藏起来。其实本题的运算递推规律很简单。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

     由此可知所求项为
     4＋6－1＝9
    这道题的运算递推规律是在两项相加的基础之上添加了常数项，在本题中常数项为“-1”，在其余题目当中，常数项还可能发生变化，如变为“+1”、“+2”、“-2”等。

     例题4：（2006年北京户口京外大学应届毕业生考试第2题）3，2，8，12，28，（    ）
     A.15                B.32                C.27                D.52
    【答案】：D。
    【解析】：在近几年的各类公务员考试中，这种类型的运算递推规律逐渐增多起来。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
    28＋2×12＝52
    这道题的运算递推规律是在相加的两项中添加了系数。有时候添加的系数是2、3等整数，可以添加在第一项上，也可以添加在第二项上。有时候添加的系数较为复杂，甚至出现了分数等情况。

    例题5：（2005年江苏省公务员考试第3题）12，4，8，6，7，（    ）
    A.6                 B.6.5                C.7                 D.8
   【答案】：B。
   【解析】：从选项中看来，B选项较为特殊，唯有这个选项是一个小数，由此可以猜得这个数列的运算规律之中很可能包含“除以2”这个运算。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
     1/2（6＋7）＝6.5
    这道题的运算递推规律是两项相加之后添加了1/2的系数。

    例题6：（2002年国家公务员考试B类第4题）25，15，10，5，5，（    ）
    A.10                B.5                 C.0                 D.－5
   【答案】：C。
   【解析】：这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
    5－5＝0
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算。但这类数列可以从后向前观察，发现仍然类似于两两相加得到第三项的规律。

    例题7：（2006年广东省公务员考试第3题）1269，999，900，330，（    ）
    A.190               B.270               C.299               D.1900
   【答案】：D。
   【解析】：在与众多考生交流中，新东方北斗星詹凯老师经常提及这道题，这道题的运算规律很难发现。在没有思路的情况下，新东方北斗星詹凯老师建议各位考生仍然回到“数列的三个性质”当中来寻找突破口。从增减性看来，这个数列是单调递减数列，但是递减快慢没有规律；从整除性看来，数列存在规律，所有数字都能够被3整除。再看选项当中，只有B选项能够被3整除，由此猜测这道题的答案为B选项270。但是细心的考生也许会发现，以往所有符合“整除性”规律的试题，将“猜”出的答案带入原数列当中通过逐项作差，总能得到简单的等差或者等比数列。然而这道题将270带入原数列当中之后，并不能够通过逐项作差得到有规律的数列。这道题是目前为止唯一一道考过的真题中既不符合增减性又不符合整除性的数列推理试题。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
   （900－330）10/3＝1900
    回过头来思考这道试题，发现出题人并没有给出这道试题的关键信息，如果1269之前还有一项则会出现小数，这样考生在推理运算递推规律时就有依可循。
    有些考生也许对于“增减性”、“整除性”来判断选项这个方法产生了怀疑。新东方北斗星詹凯老师以为，鉴于该种方法对绝大多数试题适用，而且类似本道例题的如此特殊的运算规律很少见，因此希望考生在实际考试当中能够仍然大胆的利用“整除性”来快速求解，赢得时间。
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算，同时加入了10/3的系数。



    例题8：（2007年国家公务员考试第42题）1，3，4，1，9，（    ）
    A.5                 B.11                C.14                D.64
   【答案】：D。
   【解析】：新东方北斗星詹凯老师反复强调，在进行数字推理练习时，一定要对六则运算关系非常熟悉，养成良好的数字敏感度。如果发觉这个数列的第三项4、第四项1、第五项9都是完全平方数，则运算规律不难推出。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
   （9－1）2＝64
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算，同时添加了平方运算。

   例题9：（2000年国家公务员考试第23题，2003年浙江省公务员考试第6题，2009年国家公务员考试大纲数字推理例题）1，2，2，4，（    ），32
     A.4                 B.6                 C.8                 D.16
   【答案】：C。
   【解析】：这个数列从第三项开始存在运算递推规律

   由此可知所求项为
   2×4＝8
   这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“×”，由加法运算变为了乘法运算。

   例题10：（2005年国家公务员考试二卷第34题）3，4，6，12，36，（    ）
    A.8                 B.72                C.108               D.216
   【答案】：D。
   【解析】：这个数列从第三项开始存在运算递推规律

   由此可知所求项为
  （1/2）×（12×36）＝216
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“×”，由加法运算变为了乘法运算，同时加入了1/2系数。

   例题11：（2006年国家公务员考试一卷第35题）3，7，16，107，（    ）
   A.1707              B.1704              C.1086              D.1072
   【答案】：A。
   【解析】：新东方北斗星詹凯老师很欣赏这道题，其妙处在于出题人在选项当中给出了这道题运算递推规律的“线索”。通过观察发现四个选项都是四位数，而其之前的选项只是很小的一个三位数。由三位数递推到四位数的运算只能是进行乘法运算。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
    107×16－5＝1707
    在最后一步运算过程中，可以应用“尾数原则”。
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“×”，由加法运算变为了乘法运算，同时添加了常数项“-5”。

    例题12：（2007年北京市大学应届毕业生公务员考试第5题）9，6，3/2，4，（    ）
    A.2                 B.3/4                C.3                D.3/8
   【答案】：D。
   【解析】：运算递推的两个数字之间的运算法则为加法、减法、乘法的情况都出现过，那么试题的变化的必然规律之一就是引入除法运算。由于选项当中也出现了两个分数，由此不仅可以肯定正确选项存在于两个分数选项当中，而且可以肯定在运算递推中引入了除法运算。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
   （3/2）/4＝3/8
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“÷”，由加法运算变为了除法运算。但这类数列可以从后向前观察，发现仍然类似于两两相乘得到第三项的规律。

    例题13：（2005年国家公务员考试一卷第34题）1，2，3，7，46，（    ）
    A.2109              B.1289              C.332               D.147
   【答案】：A。
   【解析】：这道题的运算递推规律仍然可以从所给项的最后两项以及选项当中获取“线索”。该数列的第四项为一个一位数，而第五项为两位数，同时选项当中出现了两个四位数选项，数位上的这种变化只能由“平方”或者“立方”运算形成。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
    462－7＝2109
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算，同时添加了平方运算。

    例题14：（2005年国家公务员考试一卷第30题）0，1，1，2，4，7，13，（    ）
    A.22                B.23                C.24                D.25
    【答案】：C。
    【解析】：已知项有7项，说明该数列在进行递推时，使用的已知项应当比较多，由此可以猜出其运算递推规律。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

    由此可知所求项为
    13＋7＋4＝24
    这道题的运算递推规律是将原运算递推的项数变为了三项相加。

    总体来说，运算递推数列是公务员考试数字推理部分的重点和难点，而递推规律的变化也是多种多样，总结起来无非是两种变化。一种是在原规律基础之上加入常数项、系数等；另一种是将原先的加法运算更换为减法、乘法、除法运算，甚至加入平方、立方运算。对于更为复杂的运算递推数列，无非是将以上两种变化方式综合起来应用而已。新东方北斗星詹凯老师提醒各位考生，要熟练掌握运算递推数列需要做到两方面的工作，一方面要应用历年各地真题进行高强度练习，见到的递推规律越多，今后碰到类似的递推规律越觉得似曾相识；另一方面要对于不会以及做错的试题耐心地进行改正，弄懂所有的递推规律。

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